Análise de Sinais

Aula 1

Álgebra Linear

Espaço vetorial: conjunto de vetores + conjunto de escalares + operação de soma + operação de multiplicação por escalar + norma

Uma soma de vetores de um espaço vetorial é um vetor deste espaço.

Uma combinação de linear é uma soma de produtos de vetores com escalares: `sum_(i=0)^n a_i vec(v_i)`.

Uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes capazes de descrever um espaço vetorial.

O número de vetores de uma base define a cardinalidade do espaço vetorial. Também é chamado de dimensão do espaço. A cardinalidade de uma espaço poder ser infinita. Exemplo: base dos polinômios de grau até `N`.

`B := \{ x^i | i in [0,N] \}`

Uma base é ortogonal quando todos os vetores da base quando todos os vetores da base são ortogonais entre si. Dois vetores são ortogonais entre si quando o seu produto interno é nulo. Se uma base é formada por vetores de uma mesma norma e estes vetores são ortogonais entre si, dizemos que esta base é ortonormal.

Dados dois vetores `v` e `x` de uma base `B`, a projeção `p` ortogonal de `v` em `x` é tal que:

`(: v-x, x :) = 0 <=>`

`(: v,x :) - (: x,x :) = 0`

` v := sum_(i=1)^n a_i v_i | B := \{ v_i | i in [1, n] \} `

`(: sum_(i=1)^n a_i v_i, x :) = (: x, x :) <=>`

`sum_(i=1)^n (: v_i, x :) = (:x,x:)`

Se `v_j = x`, então `a_i = ((:v,v_j:))/((:v_j,v_j:))`

`:. p = sum_(i=1)^n a_i v_i`

`\{a_i\}_(i=1)^n` são os chamados coeficientes de Fourier.

Exercício: Seja `v=[7,-2,3]` e `S` o plano formado por `x_1 = [0,1,0]` e `x_2 = [0,0,1]`. Qual a projeção ortogonal de `v` em `S`?

Uma matriz é um conjunto de elementos organizados em `m` linhas e `n` colunas.

Duas matrizes `A` e `B` são somáveis se possuírem o mesmo número de linhas e colunas. A soma será, portanto, a soma de cada entrada em `A` e `B`.

`EE A * B` see `#` colunas em `A = #` linhas em `B`

A matriz identidade `I` é tal que, seja `A` uma matriz qualquer, então `EE I : A * I = A`.

Da mesma forma,, a matriz inversa `A^(-1)` de uma matriz `A` é tal que `A * A^(-1) = A^(-1) * A = I`.

Aula 2

Séries de Fourier

A norma de uma espaço vetorial é uma operação tal que:

• `norm(vec(x)) = 0 <=> vec(x) = vec(0)`
• `|a| norm(vec(x)) = norm(a vec(x))`
• Desigualdade de Cauchy-Schwarz: `||vec(x) + vec(y)|| <= ||vec(x)|| + ||vec(y)||`

Definimos as normas `cc(l)_p` como sendo:

`||vec(x)||_p := (sum_(i=1)^m x_i^p)^(1/p)`

Similarmente, podemos definir as normas `L_p` para funções como sendo:

`f:D->CC`

`||f||_p := (int_D |f(x)|^p dx)^(1/p)`

Uma função `f` é dita quadrada integrável see `norm(f)_2 < +oo`. Neste caso, dizemos que `f in cc(L)_2`.

Exercício: considere a seguinte base:

`B = \{ 1; cos(pi #); sin(pi #); cos(2 pi #); sin(2 pi #); ...; cos(n pi #); sin(n pi #) \}` onde `#` é uma variável qualquer. Mostre que `B` é uma base ortogonal.

Queremos escrever uma função periódica em termos desta base `B`. Dizemos que a representação desta função em série de Fourier é:

`f(x) = a_0/2 + sum_(k=1)^n a_k cos(k pi x) + b_k sin(k pi x)`

onde

`a_k = ((: f, cos(k pi #) :))/((: cos(k pi #), cos(k pi #) :)) = int_D f(x) cos(k pi x) dx`

e

`b_k = ((: f, sin(k pi #) :))/((: sin(k pi #), sin(k pi #) :)) = int_D f(x) sin(k pi x) dx`

Exercício: Escreva a expansão em série de Fourier da função `f` a seguir.

`f(x) = { (0, x in [-1;0[), (1, x in [0;1]) :}`

Exercício: Escreva a expansão em série de Fourier da função descrita no gráfico a seguir.